เนื้อหา

• คำสั่ง
• เคล็ดลับ
• การเตือน

คำจำกัดความของ epsilon-delta เป็นการสาธิตที่นักเรียนเรียนรู้ในชั้นปีแรกของแคลคูลัส นิยามนี้เป็นวิธีคลาสสิคของการแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นเข้าใกล้เกณฑ์ที่เฉพาะเจาะจงเป็นตัวแปรอิสระเข้าใกล้ค่าที่กำหนด เอปไซลอนและเดลต้าตามลำดับอักษรตัวที่สี่และห้าของตัวอักษรกรีก ตัวอักษรเหล่านี้ใช้ในกระบวนการคำนวณขอบเขตและใช้ในกระบวนการสาธิต

คำสั่ง

คำจำกัดความ epsilon-delta ใช้เพื่อแก้ปัญหาขอบเขต (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. หนึ่งควรเริ่มต้นด้วยการทำงานกับคำจำกัดความเป็นทางการ จำกัด คำจำกัดความนี้ระบุว่า "ขีด จำกัด ของ f (x) คือ L เมื่อ x เข้าใกล้ k ถ้า epsilon แต่ละรายการมากกว่าศูนย์จะมีเดลต้าที่สอดคล้องกันมากกว่าศูนย์เมื่อเช่นค่า สัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่าง x และ k น้อยกว่าเดลต้าค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่าง f (x) และ L จะน้อยกว่าเอปไซลอน "อย่างไม่เป็นทางการซึ่งหมายความว่าขีด จำกัด ของ f (x) คือ L เมื่อ x เข้าใกล้ k หากเป็นไปได้ที่จะทำให้ f (x) ใกล้เคียงกับ L ตามที่ต้องการโดยเข้าใกล้ x ถึง k ในการทำการสาธิต epsilon-delta จะต้องแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะกำหนด delta ในแง่ของ epsilon สำหรับฟังก์ชันและขอบเขตที่กำหนด

2. จัดการคำสั่ง "| f (x) - L | มีขนาดเล็กกว่า epsilon" จนกว่าคุณจะได้รับ | x - k | น้อยกว่าค่าบางอย่าง ลองพิจารณา "ค่าบางค่า" นี้เป็นเดลต้า จำคำจำกัดความที่เป็นทางการและแนวคิดกลางซึ่งระบุว่าจำเป็นต้องแสดงว่าสำหรับเอปไซลอนใด ๆ ที่มีเดลต้าการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างกันที่ทำให้คำนิยามนั้นเป็นจริง ด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องกำหนดเดลต้าในแง่ของ epsilon

   
   

3. ขอให้สังเกตหลายตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อให้เข้าใจว่านิยามนั้นดำเนินไปอย่างไร ตัวอย่างเช่นเพื่อพิสูจน์ว่าขีด จำกัด ของ 3x-1 คือ 2 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 เราจะพิจารณา k = 1, L = 2 และ f (x) = 3x-1 เพื่อให้แน่ใจว่า | f (x) - L | น้อยกว่า epsilon, do | (3x - 1) - 2 | ต่ำกว่าเอปไซลอน ซึ่งหมายความว่า | 3x - 3 | น้อยกว่า epsilon ดังนั้น 3 | x - 1 | เป็นเช่นกันหรือ || x - 1 | น้อยกว่า epsilon / 3 ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่า delta = epsilon / 3, | f (x) - L | จะน้อยกว่า epsilon เมื่อใดก็ตามที่ | x - k | น้อยกว่าเดลต้า

เคล็ดลับ

• ส่วนกลางของการพิสูจน์คือการแปลง f (x) - L เป็น x - k หากคุณจำเป้าหมายนี้ไว้การสาธิตที่เหลือจะเกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์แบบ

การเตือน

• ในบางสถานการณ์ขีด จำกัด ของฟังก์ชั่นอาจบ่งบอกว่า f (x) มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อใดก็ตามที่ x มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด คำจำกัดความของ epsilon-delta ไม่ทำงานในกรณีเหล่านี้ ในสถานการณ์เหล่านี้การสาธิตที่คล้ายคลึงกันสามารถทำได้โดยการเลือกสองตัวเลขขนาดใหญ่ M และ N และแสดงให้เห็นว่า f (x) สามารถเกิน M ได้โดยทำให้ x เกิน N และ M สามารถมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่ต้องการ